相似三角形五种基本模型评课，评评宋蒙雪老师的课向量法在解三角形中的应用

一位老师成长的规律大概粗略过程是先“教教材”，等自己对教材熟练了，再“用教材教”。“教教材”只有一种教法，教材怎么说，你就怎么做。因为你刚开始教书，对所教学科还一知半解，所以先要熟悉教材，所以才是“教教材”。“用教材教”那就是不同老师不同教法，就算同一老师在不同班级或不同年限也可以采取不同教法。“用教材教”老师要具有创造性。“用教材教”你是对教材驾轻就熟，游刃有余。“教教材”是新手型老师，“用教材教”起码是熟手型老师。再接下去是专家型老师，他也是“用教材教”的。用教材教就是创造性的使用教材。

这些从“教教材”到“用教材教”的成长过程，就算新老师不看教育学著作，没人提醒，他也会自己发现、自己总结、最后自己知道。他总有一天会把无意识行为意识化，把不自觉行为自觉化，把经验理论化。如果他看到书了中有这种内容，他只是感叹书中作者说出了他想说的话。

今年是宋老师教书第四年，但宋老师却可以做到“用教材教”。宋老师成长速度还是蛮快的，希望宋老师继续成长，成为专家型老师。

在原来的教材里，课时安排是两节课，第一节探讨余弦定理，第二节探讨正弦定理。第三节我想宋老师与教材差不多，即余弦定理、正弦定理的应用，教材设计得按部就班中规中矩。

第一节：开始时先引入。在初中我们学习了三角形全等判定定理边角边，但初中是定性研究，到了高中是定量研究，于是再用向量法来推导余弦定理，余弦定理的本质就是边角边判定定理的定量化形式。按教材设计，第一节也介绍了余弦定理的变形。余弦定理的变形本质就是三角形全等判断定理边边边的定量化形式。为什么三角形全等会有边角边、边边边判定定理？因为已知边角边、边边边这三角形就可以确定。

第二节：开始时也是先引入。在初中我们有大角对大边，小角对小边。大边对大角，小边对小角。但到了高中需要从定性研究到定量研究，于是用向量法推导正弦定理。正弦定理的本质就是对大角对大边，小角对小边，大边对大角，小边对小角的定量化研究。

以上就是“教教材”。

宋老师的设计：

把两节课并成一节课，通过半引导半发现，让学生自己发现余弦定理和正弦定理。数学家说学习数学最好的方式就是自己发现它。华罗庚在学习复变函数时自己发现了柯西定理，虽然柯西定理柯西已经被柯西发现，但说明华罗庚的数学水平具有大数学家柯西的层次，这极大的提升了华罗庚学习数学的自信心。我们普通大众学习数学是去理解去搞懂。但自己发现数学却需要学生有很强的天赋。去理解数学去搞懂数学这需要意志的努力，也是古人说的学而知之，自己发现数学是生而知之。连孔子都说自己是学而知之，不是生而知之。宋老师的聪明之处在于：因为完全由学生自己发现太困难，于是宋老师就半引导半发现。宋老师通过对

进行两边平方和跟与边的单位垂直向量点乘来发现余弦定理和正弦定理。但发现的成果不止这些，还发现了射影定理。余弦定理、正弦定理、射影定理是有对称且优美的，只要知道一条就可以知道另两条。在这里我们可以对学生进行数学思想方法的教育。我们对于射影定理不应当死记硬背，比如其中一条a=bcosC ccosB，只要在边a上做高，把边a分成两段，一段是bcosC，一段是ccosB就可以了。射影定理是很显然和直观的。因为时间关系，宋老师把余弦定理的变形放到了第二节课来讲。

宋老师这节课遗憾之处是对余弦定理和正弦定理、射影定理的本质探讨不太深入。余弦定理正弦定理射影定理的本质是什么？你“教教材”反而可以对学生进行说明。世间安得双全法，不负如来不负卿？一个人好处不会全占，你想得到什么就会失去另一个什么。“教教材法”和宋老师教法各有利弊。“教教材法”偏于数学功能，让学生深刻理解概念、公式、定理等本质。宋老师教法偏向教育功能，培养学生学习数学的能力，如华罗庚学习数学。

但是如果我也像宋老师这样上，我还会补充一点：那就是对《第六章平面向量及其应用》贯彻到底得的中心思想。

我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休。”数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，在一定条件下，数和形之间可以相互转化，相互渗透．

而向量却是数形完美结合体。向量既是代数研究对象也是几何研究对象，它是沟通代数与几何的桥梁。

数学家华罗庚提出了科研的四种境界：第一种是照葫芦画瓢模仿．刚开始做科研的人习惯于模仿参考文献做一些小小的改进和推广，没有什么创新．第二种境界是对现有的方法进行改进用来解决新问题或对现有方法进行修补以更好地解决老问题．这和第一种境界没有太大的区别，但这样做时，由于现有方法并不完全适用于新问题，还是有一些改进工作要做的.而且，在用老方法尝试解决新问题的时候可能会产生新的思路．所以，我们不要小瞧这样的工作. 著名数学家陈景润“1 2”的研究成果就是利用挪威数学家布朗的“筛法”得到的．但一个人做数学研究不能老局限在这种“攀亲”的境界里，而要考虑针对新问题有无更有效的方法．这就引出了做科研的第三种境界：用创新性的方法解决新问题或老问题．这种境界完全有别于前两种境界，是创造力提高的表现．科研的第四种境界是开辟新领域、新方向．这种拓荒探宝性的工作，其意义不言而喻．它要求很高，一般人也很难达到．

而向量方法就属于科研的第三境界。

李邦河院士说：“根据我上大学以后搞数学研究的经验，数学根本上是玩概念，不是玩技巧。技巧不足道也！”

比如数学家提出向量概念，得到一套向量理论，按向量理论解决了许多数学问题。

百度：“向量”的前世今生：8位天才数学家，耗时2000年完成

2023年3月3日